Разработка 1D-модели системы подвески автомобиля

В статье представлена разработанная на платформе REPEAT модель системы подвески автомобиля.

Описание системы

Система подвески автомобиля должна обеспечивать комфортную езду при движении по дороге с неровностями, но, если возникнут нежелательные помехи, необходимо, чтобы система как можно быстрее стабилизировалась.

Для упрощения схемы подвески автомобиля смоделируем 2 массы и 2 комплекта пружин и амортизаторов, и проанализируем ¼ часть подвески автомобиля.

Рисунок 1 - Расчётная схема системы подвески (правая часть рисунка – включает воздействие сил)

Рассмотрим колебания колесной машины в продольно-вертикальной плоскости. Модель включает подрессоренную массу \( m_1 \), и неподрессоренную массу \( m_2 \).

Подрессоренная масса – масса, включающая массу рамы или кузова и остальных частей конструкции (кузовные элементы, двигатель), вес которых передается на упругие элементы подвески.

Неподрессоренная масса – масса, включающая массу колёс, массу самой подвески и остальных частей системы подвески (шин, элементов трансмиссии и тормозной системы, и т.п.), отделённых подвеской от рамы либо кузова.

На подрессоренные части движущегося автомобиля наложены связи, вследствие чего колебания по отношению продольной оси в значительной мере компенсируются направляющими устройствами подвески. В реальных условиях они являются несущественными и появляются в большой мере при торможении, чем при движении по неровностям опорной поверхности. Демпфирующие устройства сводят к минимуму угловые колебания относительно вертикальной оси (рыскание) и линейные колебания относительно поперечной оси, которые могут быть компенсированы за счет боковой податливости и бокового проскальзывания шин.

Неподрессоренные массы совершают линейные вертикальные колебания. При зависимой подвеске колес в отдельных случаях необходимо учитывать поперечно-угловые колебания неподрессоренных масс. Продольно-угловые колебания подрессоренных частей автомобиля, называемые галопированием, наиболее неприятны для человека. Большинство реальных систем подрессоривания симметричны относительно продольной оси в этом случае продольно-угловые колебания станут независимыми от поперечно-угловых и наоборот, а это значит, что их можно исследовать раздельно друг от друга [1].

Математическая модель системы подвески автомобиля

Начнем с того, что введем в нашу систему силы, основанные на ее элементах, они отражены на рисунке 1.

Силу, действующую на пружину, можно выразить как \( \bar{S} \) Она пропорциональна смещению – чем больше деформация, тем больше сила, что является справедливым закону Гука. Значение вектора \( \bar{S} \) можно представить с помощью следующего уравнения:

\( \bar{S} = k \Delta \)

где k –коэффициент упругости, а Δ - деформация пружины (линейное смещение).

Силу, действующую от демпфера, можно показать как \( \bar{G} \) Она пропорциональна скорости деформации и может быть представлена следующим уравнением:

\( \bar{G} = c v \)

где c – коэффициент демпфирования и υ - скорость массы

Для представления движения в системе будем считать, что \( \bar{F} \) представляет собой силы, действующие на систему \( x_2 \) и \( x_2 \) представляют смещение масс \( m_1 \) и \( m_2 \) соответственно, а w — возмущение (например, неровность на дороге).

Уравнения движения:

(1) \[ m_1 \ddot{x_1} = F - S_1 - G_1 \]

(2) \[ m_2 \ddot{x_2} = G_1 + S_1 + G_2 + S_2 - F \]

Уравнения пружины:

(3) \[ S_1 = k_1 (x_1 - x_2) \]

(4) \[ S_2 = k_2 (w - x_2) \]

Уравнения демпфера:

(5) \[ G_1 = c_1 (\dot{x_1} - \dot{x_2}) \]

(6) \[ G_2 = c_2 (\dot{w} - \dot{x_2}) \]

Для первого этапа моделирования достаточным будет построить модель движения первой подрессоренной массы \( m_1 \) системы пружина-демпфер-масса по уравнению движения:

(7) \[ \ddot{x_1} = \frac{(F - k_1 x_1 - c_1 \dot{x_1})}{m_1} = \frac{1}{m_1} \cdot (F - k_1 x_1 - c_1 \dot{x_1}) \]

Процесс моделирования

Для моделирования пружинной системы демпфер-массы нам понадобятся:

Рисунок 2 - Расчётная схема пружинной системы демпфер-масса в REPEAT

Теперь перейдём к первому эксперименту со следующими параметрами:

Коэффициент упругости \( k_1 \)=600 Н/м

Коэффициент демпфирования \( c_1 \)=14 Н•с/м

Подрессоренная масса \( m_1 \)=650 кг

Рисунок 3 - Реакция системы «пружина-демпфер-масса»

Во всех графиках по оси X определяется время в секундах, по оси Y определяется смещение в метрах.

График показывает результирующее поведение смещения массы \( m_1 \). Эта система стабилизируется со временем, но медленно и не до состояния равновесия в течении 100 секунд. Наличие такой подвески для нашего автомобиля привело бы к длинным колебаниям, которые, вероятно, заставят людей плохо себя чувствовать во время путешествий. Можно поэкспериментировать со значениями параметров, чтобы увидеть, как система пружина-демпфер-масса реагирует на различные значения. Ниже представленно несколько кратких примеров:

Рисунок 4а - Увеличение массы в два раза - вызывает более длительные колебания во времени (\( k_1 \)=600 Н/м, \( c_1 \)=14 Н•с/м, \( m_1 \)=1300 кг)

Рисунок 4б – Увеличение массы в 4 раза больше массы -вызывает колебания, которые становятся еще продолжительнее во времени (\( k_1 \)=600 Н/м, \( c_1 \)=14 Н•с/м, \( m_1 \)=2600 кг)

Увеличение упругости \( k_1 \) = 1200 Н/м приведет к более коротким по амплитуде колебаниям, но к более быстрому переходу в равновесие.

Рисунок 4в - Колебания с более жесткой пружиной (\( k_1 \)=1200 Н/м, \( c_1 \)=14 Н•с/м, \( m_1 \)=650 кг)

Увеличение коэффициента демпфирования \( c_1 \) = 28 Н•с/м приведет к большей стабильности.

Рисунок 5а - Колебания при различных значениях коэффициента демпфирования (\( k_1 \)=300 Н/м, \( c_1 \)=28 Н•с/м, \( m_1 \)=650 кг)

Рисунок 5б - Колебания при различных значениях коэффициентах демпфирования (\( k_1 \)=300 Н/м, \( c_1 \)=70 Н•с/м, \( m_1 \)=650 кг)

Путём проведения экспериментов нам удалось определить динамику работы системы, более приближённую к физическим. В последнем графике присутствуют длительные колебания, но динамика перемещения массы, а фактически это колебания, которые чувствует пассажир, имеет затухающий характер и на 90 секунде практически приходит в равновесие. Настраивать модель можно и дальше, путём подбора коэффициентов, но наша цель показать больше возможностей работ с устранением колебаний. Так как целью данной работы является снижение вибраций в автомобиле для обеспечения комфорта пассажиров.

Расширение системы

Мы можем расширить нашу систему, чтобы посмотреть на изменение перемещений масс \( m_1 \) и \( m_2 \), используя следующие уравнения:

(8) \[ \ddot{x_1} = \frac{1}{m_1} \cdot \left( F - k_1 (x_1 - x_2) - c_1 (\dot{x_1} - \dot{x_2}) \right) \]

(9) \[ \ddot{x_2} = \frac{1}{m_2} \cdot \left( -F + c_1 (\dot{x_1} - \dot{x_2}) + k_1 (x_1 - x_2) + c_2 (\dot{w} - \dot{x_2}) + k_2 (w - x_2) \right) \]

Ниже представлена пошаговая доработка системы:

Рисунок 6а - Схема модели подвески – первый шаг (уравнение 8)

Рисунок 6б - Схема модели подвески – первый шаг (уравнение 9)

Рисунок 7 - Схема модели подвески – первое уравнение без составляющей управляющей силы F

Рисунок 8 - Схема модели подвески – второе уравнение без составляющей управляющей силы F и возмущения w

Затем добавим управляющую силу F в качестве константы (которая будет имитировать шаг в одну секунду) со значением 1Н и возмущение w со значением 0,1 м — имитация неровности на дороге (возмущение).

Рисунок 9 – Общая схема модели подвески с задержкой по возмущению

Параметры системы, следующие:

Итак, подвеска автомобиля, предложенная на рисунке 1, была показано на рисунке 9 и реализована в REPEAT. Данная система с открытым контуром и не имеет обратной связи. В модели, имеется отклик системы на единичный шаг управляющей силы F и возмущающее воздействие w с шагом в единицу. Возмущающее воздействие может представлять собой выезд автомобиля из выбоины.

Далее мы будем анализировать один график, на котором по оси x – время, по оси y – разница перемещений масс (\( x_1 \)-\( x_2 \)). Данный график получен как выходная величина блока сумматор, он обведён контуром зеленого цвета на рисунке 9.

Если рассматривать только влияние управляющей силы F, достаточно установить возмущающее воздействие w=0. Таким образом, можно наблюдать следующий отклик системы:

Рисунок 10а – Результат работы подвески без возмущения

Если рассматривать только возмущающее воздействие w, без влияния управляющей силы F, достаточно установить F=0. Таким образом, можно наблюдать следующий отклик системы:

Рисунок 10б – Результат работы подвески без влияния управляющей силы

Из графика видно, что для единичного шага приложенной силы, система имеет недостаточное демпфирование. Максимальное значение составляет около 0,072 м, а время установления - 20 с. Из этого графика можно сказать, что поездка на машине не будет комфортной. Чтобы улучшить впечатления от поездки для водителя и его пассажиров, простым и надёжным решением будет внедрение в систему контроллера, который бы мог стабилизировать работу подвески. В случае работы с REPEAT, уже есть готовое решение и это блок «ПИД-регулятор».

Настройка регулятора для управления вибрациями системы подвески автомобиля

Приведенная выше модель подвески автомобиля условно простой конструкции масса-пружина-демпфер. Но мир не стоит на месте, и современная промышленность требует улучшения ходовых качеств автомобиля и комфорта пассажиров. Пружина и демпфер действительно поглощают излишние колебания, но что, если мы попробуем в соответствии с тенденциями попробовать внедрить ещё один элемент - регулятор, который будет помогать механической системе поглощать колебания ещё лучше и быстрее. Как если бы мы внедрили в подвеску гидравлическую систему, управляемую контроллером с обратной связью.

Регулятор – это устройство, которое может быть в виде аналоговой схемы, микросхемы или компьютера, контролирующее и физически изменяющее условия работы данной динамической системы.

Существуют различные алгоритмы управления, которые используется в подобных задачах, например адаптивное управление, LQG, нелинейное управление, H на бесконечности, П, ПИ и ПИД регулирование.

П, ПИ, ПИД-регуляторы широко используется инженерами, потому что они просты в понимании и учитывают историю системы, а также предвидят ее поведение в будущем. Но не будем останавливаться и повторяться, так как уже написано немало статей по этой теме, а просто приведём здесь статьи для ознакомления:

В данной работе мы представим простой, но универсальный механизм обратной связи, на примере пропорционально-интегрально-дифференцирующего (ПИД) регулятора.

Функцию управления ПИД-регулятор можно представить следующим образом:

\[ u(t) = P + I + D = K_p e(\tau) + K_I \int_0^t e(\tau) d\tau + K_D \cdot \frac{de}{dt} \]

где u(t) - управляющий сигнал, e(t) значение ошибки, и \( K_P \), \( K_I \), \( K_D \) – коэффициенты усиления для пропорциональной, интегрирующей и дифференцирующей составляющих регулятора соответственно. Кроме того, значение ошибки вычисляется следующим образом:

\[ e(t) = r(t) - y(t) \]

де r(t) желаемая заданная точка процесса, а y(t) переменная процесса (в нашем случае разность между перемещениями двух масс).

Итак, встроим регулятор в нашу схему с обратной связью.

Рисунок 11а - Схема модели подвески с обратной связью и регулятором

Рисунок 11б – Свойства ПИД-регулятора

При настройке ПИД-регулятора, как блока, оказалось достаточным изменение постоянных пропорционального и дифференцирующего звена, поэтому фактически у нас получился ПД-регулятор.

Рисунок 12 - Отклики модели с ПИД-регулятором

На рисунке 12 видно, что люди, сидящие в автомобиле, ощущают незначительные колебания в течении 6 секунд (на 5 секунде колебания составляют уже меньше 1 мм). ПИД-регулятор позволяет значительно улучшить эксплуатационные характеристики системы подвески автомобиля.

Сравнение результатов моделирования:

Подводя итог, в данной работе показана модель ¼ системы подвески автомобиля. Во-первых, мы смоделировали простую подвеску, чтобы посмотреть, как она себя ведет в разомкнутом контуре, без обратной связи. Затем мы увеличили сложность нашей системы, чтобы смоделировать взаимосвязь между силой управления, массами системы подвески и соответственно коэффициентами жесткости и демпфера. Из этого мы сделали вывод, что для стабилизации системы необходимо внедрить ПИД-регулятор. ПИД-регулятор сделал автомобиль в целом более стабильным, но все еще есть место для лучшей настройки, чтобы получить еще более комфортную и стабильную езду для наших пассажиров.